Cos Giữa 2 Đường Thẳng

Cách xác định nhanh góc giữa hai tuyến đường thẳng chéo cánh nhau – bí quyết và bài tập tất cả đáp án

1. Định nghĩa góc giữa hai tuyến đường thẳng

Trong không khí cho 2 mặt đường thẳng a, b bất kỳ.

Bạn đang xem: Cos giữa 2 đường thẳng

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 con đường thẳng $a"$, $b"$ lần lượt tuy nhiên song với a cùng b. Ta nhận ra rằng lúc điểm O chuyển đổi thì góc giữa 2 mặt đường thẳng $a"$ và $b"$ không cố kỉnh đổi.

Do kia ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt đường thẳng a cùng b trong không gian là góc thân 2 con đường thẳng $a"$ với $b"$ thuộc đi sang 1 điểm với lần lượt tuy nhiên song cùng với a cùng b.

2. Cách xác minh góc giữa hai tuyến đường thẳng

Để khẳng định góc thân 2 con đường thẳng a và b ta rất có thể lấy điểm O thuộc 1 trong những hai con đường thẳng đó rồi vẽ một con đường thẳng qua O và tuy nhiên song với mặt đường thẳng còn lại.

Nếu $overrightarrowu$ là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng a cùng $overrightarrowv$ là vecto chỉ phương của con đường thẳng b với $left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha $ thì góc thân 2 mặt đường thẳng a và b bằng $alpha $ nếu $0le alpha le 90^circ $ và bởi $180^circ -alpha $ nếu $90^circ Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC gồm đáy là tam giác hầu như cạnh a, $SAot left( ABC ight)$ và $SA=asqrt3$. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai tuyến phố thẳng AN với CM.

Lời giải đưa ra tiết

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra $AM=CE=fraca2$.

Khi đó $AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .$

Mặt không giống $SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow $ độ dài con đường trung tuyến đường AN là $AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.$

Do $Delta ABC$ đều đề nghị $CMot AMRightarrow $ AMCE là hình chữ nhật.

Xem thêm: Mạng Lưới Nội Chất Không Có Chức Năng Nào Sau Đây ? Lưới Nội Chất Trơn Không Có Chức Năng

Khi kia $CEot AE$ nhưng mà $CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.$

$Delta SEC$ vuông tại E gồm đường trung con đường $EN=frac12SC=a.$

Ta có: $cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.$

Cách 2: Ta có: $overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.$

Khi đó $overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.$

Lại có: $AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =frac frac-3a^28 ighta.fracasqrt32=fracsqrt34.$

Bình luận: Dựa vào hai phương pháp làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc áp dụng công thế vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở yêu cầu dễ ràng hơn vô cùng nhiều!.

Lời giải bỏ ra tiết

Cách 1: Gọi M, N, phường lần lượt là trung điểm của SA, SB cùng AC. Lúc đó $left{ eginarray MP//SC \ N//AB \ endarray ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).$

Ta có: $MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.$

Mặt khác $Delta SAC$ vuông tại S $Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.$

$BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.$

Suy ra $PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.$

Khi kia $cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .$

Cách 2: Ta có: $overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC$

$=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.$

Suy ra $cos left( SC;AB ight)=fraclefta.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .$

Lời giải đưa ra tiết

Ta có: $overrightarrowBC.overrightarrowDA ext = ext overrightarrowBCleft( overrightarrowDC+overrightarrowCD ight)=overrightarrowCB.overrightarrowCD-overrightarrowCB.overrightarrowCD$

$=frac12left( CB^2+CD^2-BD^2 ight)-frac12left( CB^2+CA^2-AB^2 ight)=frac12left( AB^2+CD^2-BD^2-CA^2 ight).$

Khi kia $cos left( BC;DA ight)=frac overrightarrowBC.overrightarrowDA ightBC.DA=fracx_1^2+x_2^2+y_1^2-y_2^22z_1z_2.$

Đặc biệt: Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ cùng $BC=AD=z$ ta để $left{ eginarray alpha =left( widehatBC;AD ight) \ eta =left( widehatAB;CD ight) \ gamma =left( widehatAC;BD ight) \ endarray ight.$ thì ta có:

$cos alpha =fracx^2-y^2z^2;cos eta =fracx^2;cos gamma =fracz^2-z^2y^2.$

Lời giải đưa ra tiết

■ bí quyết 1: Do $SAot left( ABCD ight).$

Ta có: $SA=sqrtSB^2-AB^2=a$. Hotline E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Hay thấy BNDE là hình bình hành cùng MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi ấy $DN//BE//MI.$

Tacó: $AM=a;AI=fracAE2=fraca2.$

Mặt khác: $SM^2=SA^2+AM^2=2a^2;SI^2=frac5a^24.$

$MI=AI^2+AM^2=frac5a^24$. Do thế $cos widehatSMI=fracSM^2+MI^2-SI^22.SM.MI=fracsqrt105=cos(widehatSM;DN).$

■ Cách 2: Ta có: $overrightarrowSM.overrightarrowDN ext = ext overrightarrowSM.left( overrightarrowSN-overrightarrowSD ight)=overrightarrowSM.overrightarrowSN ext - ext overrightarrowSM.overrightarrowSD$

$ ext=frac12left( SM^2+SN^2-MN^2 ight)-frac12left( SM^2+SD^2-MD^2 ight)$

Mặt khác: $SN^2=SA^2+AN^2=SA^2+AB^2+BN^2=6a^2,MN=fracAC2= ext asqrt2,SD^2=5a^2,MD^2=5a^2.$

Do kia $overrightarrowSM.overrightarrowDN=2a^2Rightarrow cos left( SM;DN ight)=frac 2a^2 ightSM.DN=frac2a^2asqrt2.asqrt5=fracsqrt105.$

a) vị $BC//ADRightarrow (widehatSD;BC)=(widehatSD;AD)=widehatSDA$

$Delta SAD$ vuông trên A $Rightarrow cos widehatSDA=fracADSD=fracADsqrtAD^2+SA^2=frac1sqrt3.$

b) hotline M, K thứu tự là trung điểm của AB với SA thì MK là con đường trung bình trong tam giác SAB.