Cosx + Cos3X + 2Cos5X = 0 Câu Hỏi 994797

  -  
thắc mắc trong đề: Trắc nghiệm Toán 11 bài xích 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)
*
Giải vày Vietjack


I. Phương trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác

1. Định nghĩa.

Bạn đang xem: Cosx + cos3x + 2cos5x = 0 câu hỏi 994797

Phương trình số 1 đối với một hàm con số giác là phương trình bao gồm dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là những hằng số (a ≠ 0) cùng t là 1 trong các hàm con số giác.

- lấy ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình số 1 đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình hàng đầu đối cùng với cotx.

2. Biện pháp giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) đến a, ta gửi phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) 2sinx – 4 = 0;

b) 3tanx− 3 =0.

Lời giải:

a) trường đoản cú 2sinx – 4 = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) mang đến 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 đề xuất phương trình đã đến vô nghiệm.

b) từ 3tanx− 3 =0, đưa vế ta có: 3tanx= 3 (3)

Chia cả hai vế của phương trình (3) mang đến 3 ta được: tanx= 33.

⇔tanx= tan π6  ⇔x = π6 +​ kπ;  k∈ℤ

3. Phương trình đem về phương trình bậc nhất đối với cùng một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến hóa lượng giác đã làm được học để đưa về phương trình hàng đầu đối với hàm số lượng giác hoặc mang về phương trình tích nhằm giải phương trình.

- ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

⇔2sinx. Cosx – cosx = 0

⇔cosx. (2sinx – 1) = 0

⇔cosx  = 02sinx−1=0

+ với cosx = 0 thìx  =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

+ với 2sinx – 1 = 0

⇔2sinx=1⇔sin x= 12⇔x =  π6  +​  k2πx = π− π6  +​  k2π =  5π6  +​  k2π ;  k ∈ℤ

Vậy phương trình đã mang lại có các nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2π và x  =  5π6  +  k2π;  k∈ℤ.

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

⇔– 2sin2x. Cos2x = 1 (vì sin2x = 2sinx. Cosx)

⇔– sin4x = 1 sin 4x = – 1

⇔4x = − π2  + k2π⇔x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ

Vậy nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ.

II. Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác là phương trình tất cả dạng:

at^2 + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là những hằng số (a ≠ 0) cùng t là một trong các hàm con số giác.

- lấy ví dụ 4.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai so với tanx.

2. Biện pháp giải.

Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ với đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đem về việc giải những phương trình lượng giác cơ bản.

- ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Xem thêm: Đàn Đáy Có Mấy Dây - Người Thương Cây Đàn Đáy

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t^2 – 4t = 0.⇔t=0t  =2 .

Trong hai nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

Vậy phương trình đang cho bao gồm nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

3. Phương trình mang đến dạng phương trình bậc hai so với một hàm con số giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để thay đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác.

- lấy ví dụ như 6. Giải phương trình 3sin^2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x bắt buộc phương trình đã mang đến tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

⇔– 3cos2 x – 6cosx = 0 (*)

Đăt t = cosx cùng với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0 ⇔t=0t= −2.

Trong nhì nghiệm này, chỉ tất cả nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 ⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

Vậy phương trình sẽ cho có nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

- ví dụ 7. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. Cosx + 2cos2x = 0 (1).

Lời giải:

+ trường hợp cosx = 0 thì sin2x = 1 đề nghị phương trình (1) bao gồm :

VT(1) = 1 với VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn nhu cầu phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ bởi cosx ≠ 0 bắt buộc chia nhị vế của phương trình (1) cho cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0 (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 = 0

⇔t  =1t =2

Với t = 1 thì tanx = 1 ⇔x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤ.

Với t = 2 thì tanx = 2 ⇔x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ℤ.

Vậy phương trình đã cho có những nghiệm là x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤvà x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ ℤ.

III. Phương trình bậc nhất đối cùng với sinx với cosx.

1. Công thức chuyển đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta bao gồm công thức biến hóa sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2. sin (x+​α) (1)

Trong đó; cosα  =   aa2+ b2;  sin α=  ba2+ b2.

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ∈R; a, b ko đồng thời bằng 0.

- ví như a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa tức thì về phương trình lượng giác cơ bản.

- ví như a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3sinx−  cosx =  2.

Xem thêm: Bài Văn Tả Cây Đào Lớp 7, 6, 5, Tả Cây Hoa Đào Ngày Tết Vào Mùa Xuân

Lời giải:

Theo phương pháp (1) ta có:

3sinx−  cosx =  (3)2+​ 1. sin(x−  α)  =2sin(x−α)

Trong đó; cosα  =   32;  sin α  =  12. Ta mang α =  π6thì ta có:

3sinx−  cosx =  2sin x−  π6

Khi đó;3sinx−  cosx =  2

⇔  2sin x−  π6= 2⇔  sin x−  π6= 1⇔x−  π6  =  π2 +  k2π  ⇔x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ

Vậy phương trình có nghiệm là x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ.