Đề cương ôn tập toán 11 học kì 2 trắc nghiệm

  -  

Tổng hợp kỹ năng cần thế vững, các dạng bài xích tập và câu hỏi có năng lực xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Hàng số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) nếu như (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: đề cương ôn tập toán 11 học kì 2 trắc nghiệm

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) và (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) nếu (u_n ge 0) với tất cả (n) thì (L ge 0) và (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) với (c) là 1 trong hằng số. Lúc đó:

i) những dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) nếu như (M e 0) thì hàng số (left( fracu_nv_n ight)) có số lượng giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số hàng số bao gồm giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) giả dụ (left| q ight| Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường vừa lòng (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các phép tắc tìm số lượng giới hạn vô cực của hàm số

+) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng K và (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là thường xuyên tại (x_0) nếu (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số nhiều thức thường xuyên trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác thường xuyên trên từng khoảng chừng của tập khẳng định của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, yêu thương của hai hàm số thường xuyên tại (x_0) là những hàm số tiếp tục tại (x_0) (trường hợp thương thì mẫu đề xuất khác 0 trên (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) thường xuyên trên (left< a;b ight>) cùng f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc đã học để tính.

- Nếu số lượng giới hạn của hàm số bắt buộc tính có một trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta đề xuất khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản cầu hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu...

Xem thêm: Đốt Cháy Hoàn Toàn M Gam Hỗn Hợp X Gồm 2 Ancol

Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- ví như tử, mẫu là phần nhiều đa thức thì ta đặt thừa số (left( x - x_0 ight)) làm cho nhân tử bình thường và rút gọn gàng nhân tử này ta sẽ gửi được giới hạn về dạng xác định.

- trường hợp tử tuyệt mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu mã với lượng liên hợp của tử hoặc chủng loại và cũng rút gọn gàng thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và chủng loại ta sẽ chuyển được số lượng giới hạn về dạng xác định.

Cần để ý các công thức biến hóa sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ nếu PT f(x) = 0 gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- chia cả tử và mẫu mang lại xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu.

- tiếp đến dùng những định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương thuộc giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- ví như (x o x_0) thì ta quy đồng mẫu mã số để lấy về dạng (frac00).

Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân chia với lượng liên hợp để mang về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần triển khai một số chuyển đổi như chuyển thừa số vào trong vết căn, quy đồng mẫu số,...ta hoàn toàn có thể đưa số lượng giới hạn đã mang lại về dạng thân quen thuộc.

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- thực hiện công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) và q = ( - frac110).

Xem thêm:  Loại Phân Bón Nào Sau Đây Không Làm Hại Đất, Bài 12 Môn Công Nghệ 10

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính liên tiếp của hàm số trên điểm:

- Dạng I: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tìm kiếm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tiếp tại x0

- Dạng II: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại những điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tham số nhằm hàm số thường xuyên tại x0

Phương pháp chung:

B1: tra cứu TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số thường xuyên tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính thường xuyên của hàm số để chứng minh phương trình bao gồm nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT bao gồm nghiệm trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: đánh giá tính liên tục của hàm số f(x) bên trên (left< a;b ight>)

B3: tóm lại về số nghiệm của PT bên trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) thường xuyên trên R phải f(x) thường xuyên trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)