Giải Bài Tập Toán 11 Trang 169

     

Hướng dẫn giải bài xích §3. Đạo hàm của hàm con số giác, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập đại số với giải tích gồm trong SGK để giúp các em học viên học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 169


Lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số $y = sinx$

Hàm số (y=sin x) bao gồm đạo hàm tại những (x in mathbbR) với (left( sin x ight)’ = cos x.)

Nếu (y=sin u) và (u=u(x)) thì ((sin u)’=u’. cos u.)

2. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$

Hàm số (y=cos x) gồm đạo hàm tại mọi (x in mathbbR) cùng (left( cos x ight)’ =-sin x.)

Nếu (y=cos u) và (u=u(x)) thì ((cos u)’=-u’. sin u.)

3. Đạo hàm của hàm số $y = tanx$

Hàm số (y= an x) tất cả đạo hàm tại những (x e fracpi 2 + kpi ,k in mathbbR) với (left( an x ight)’ = frac1cos ^2x.)

Nếu (y=tan u) với (u=u(x)) thì (left( an u ight)’ = fracu’cos ^2u.)

4. Đạo hàm của hàm số $y = cotx$

Hàm số (y=cot x) bao gồm đạo hàm tại phần đa (x e kpi ,k in mathbbR) với (left( cot x ight)’ = – frac1sin ^2x.)

Nếu (y=cot u) với (u=u(x)) thì (left( cot x ight)’ = – fracu’sin ^2u).

Bảng đạo hàm:


*

Dưới đây là phần hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài xích tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11


Tính (sin 0,01 over 0,01;,,sin ,0,001 over 0,001) bằng máy tính bỏ túi.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& sin 0,01 over 0,01 approx 0,999983 cr& sin ,0,001 over 0,001 approx 0,99999983 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 165 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số: (y = sin (pi over 2 – x))

Trả lời:

$y’ = (sin⁡ (pi over 2 – x) )’$


Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ cos⁡u = -1 cos⁡(pi over 2 – x) = -sin⁡x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$ ).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 166 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

(f(x) = sin ,x over cos ,x,(x e pi over 2 + kpi ;,k in Z))

Trả lời:


Ta có:

(eqalign& f"(x) = (sin ,x over cos ,x) ‘= (sin ,x)’cos ,x – sin ,x.(cos ,x)’ over cos ,^2x cr& = cos ,^2x + sin ^2x over cos ,^2x = 1 over cos ,^2x cr )

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 167 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = chảy (pi over 2 – x)$ cùng với $x ≠ kπ, k ∈ Z$

Trả lời:

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$


⇒ $y’ = u’ over cos ^2u = – 1 over cos ^2u $

$= – 1 over cos ^2(pi over 2 – x) = – 1 over sin ^2x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$)

Dưới đây là phần lí giải giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

thuphikhongdung.vn ra mắt với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài bác tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài xích §3. Đạo hàm của hàm con số giác vào Chương V. Đạo hàm cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài xích 1 trang 168 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:


a) (y = fracx-15x-2)

b) (y = frac2x+37-3x)

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

Bài giải:

a) (y = fracx-15x-2)

( y’=fracleft ( x-1 ight )’.left ( 5x-2 ight )-left ( x-1 ight ).left ( 5x-2 ight )’left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac(5x-2)-left ( x-1 ight ).5left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac3left ( 5x-2 ight )^2).

b) (y = frac2x+37-3x)

( y’=fracleft ( 2x+3 ight )’.left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( 7-3x ight )’left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac2left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( -3 ight )left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac23left ( 7-3x ight )^2).

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

( y’=fracleft ( x^2+2x+3 ight )’.left ( 3-4x ight )-left ( x^2 +2x+3 ight ).left ( 3-4x ight )’left ( 3-4x ight )^2)

(y’= fracleft ( 2x+2 ight ).left ( 3-4x ight )-left ( x^2+2x+3 ight ).(-4)(3-4x)^2)

(y’ =frac-2(2x^2-3x-9)(3-4x)^2).

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

( y’=frac(x^2+7x+3)’.(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(x^2-3x)’(x^2-3x)^2)

(y’ =frac(2x-7).(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(2x-3)(x^2-3x)^2)

(y’=frac-10x^2-6x+9(x^2-3x)^2).

2. Giải bài xích 2 trang 168 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) (y"0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Bài giải:

a) (y"x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx ge 1 hfill cr x le – 3 hfill cr ight.)

(Rightarrow x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

Vậy (x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

c) (y’>0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Ta gồm (y’=frac(2x-1)’.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4)’(x^2+x+4)=frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4)).

Vì (x^2+x +4 =left ( x+frac12 ight )^2+ frac154 >0), với (∀ x ∈ mathbb R)

(Rightarrow y’>0 Leftrightarrow frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4) >0)

(Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 )

(Leftrightarrow frac1-sqrt192

3. Giải bài 3 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = 5sinx -3cosx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

c) (y = x cotx)

d) (y = fracsinxx+fracxsinx)

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

Bài giải:

a) (y = 5sinx -3cosx)

(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

(y’=(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’over(sin x-cos x)^2)

(y’= (cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)over(sin x-cosx )^2)

(y’ =-2over(sin x-cos x)^2)

c) (y = x cotx)

(y’ = cotx +x. left ( -frac1sin^2x ight )= cotx – fracxsin^2x).

d) (y = fracsinxx+ fracxsinx)

( y’=frac(sin x)’.x-sin x.(x)’x^2+frac(x)’.sin x-x(sin x)’sin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2+fracsin x-x.cosxsin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2-fracx.cosx-sin xsin^2x)

(y’ = (x. Cosx -sinx) left ( frac1x^2-frac1sin^2x ight )).

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

( y’=frac(1+2tanx)’2sqrt1+2tanx)

(y’= fracfrac2cos^2x2sqrt1+2tanx)

(y’=frac1cos^2xsqrt1+2tanx).

Xem thêm: Các Bài Thơ 4 Chữ Về Mẹ ❤️️ 65+ Bài Thơ Lục Bát 4 Câu Hay Nhất

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

(y’ = (sqrt1+x^2)’ cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac(1+x^2)’2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac2x2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= fracxsqrt1+x^2cossqrt(1+x^2))

4. Giải bài 4 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

d) (y = tan^2x +cotx^2)

e) (y = cosfracx1+x)

Bài giải:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

(y’ = left( 9 – 2x ight)"(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1)’)

(y’= – 2(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(6x^2 – 18x) )

(y’=-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2)

(y’= – 16x^3 + 108x^2 – 162x – 2).

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

(y’ = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )’.(7x -3) +left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3)’)

(y’= left ( frac3sqrtx +frac2x^3 ight )(7x -3) +7 left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight ))

(y’=63sqrtx-frac9sqrtx+frac7x^2-frac6x^3)

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

(y’ = (x -2)’sqrt(x^2+1) + (x -2)sqrt (x^2+1)’ )

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2)fracleft ( x^2+1 ight )’2sqrtx^2+1)

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2) frac2x2sqrtx^2+1)

(y’ = sqrt (x^2+1) + fracx^2-2xsqrtx^2+1)

(y’= frac2x^2-2x+1sqrtx^2+1).

d) (y = tan^2x +cotx^2)

(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ left ( -frac1sin^2x^2 ight )= frac2tanxcos^2x+frac2xsin^2x^2)

e) (y = cosfracx1+x)

(y’ = left ( frac11+x ight )’sin fracx1+x= -frac1(1+x)^2sin fracx1+x).

5. Giải bài bác 5 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi ‘(1)), biết rằng (f(x) = x^2) và (φ(x) = 4x +sin fracpi x2)

Bài giải:

Ta có:

(f"(x) = 2xRightarrow f"(1) = 2)

(φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )’. Cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. Cos fracpi x2)

(Rightarrow φ"(1) = 4).

(Rightarrow fracf"(1)varphi ‘(1) = frac24= frac12)

6. Giải bài 6 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng những hàm số sau gồm đạo hàm không dựa vào (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

Bài giải:

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

Ta có:

((3sin^2x.cos^2x)’=3.(sin^2x)’.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)’)

(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)’+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)’)

(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x))

(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x)

(y’ = 6sin ^5x.cos x – 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x – 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – cos ^2x))

(= 6sin ^3x.cos x.cos^2x + 6sin x.cos^3 x.sin^2x)

(= – 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0)với đa số (x),tức là (y’) không nhờ vào vào (x).

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

(y’ = 2cos left ( fracpi 3-x ight ).sin left ( fracpi 3-x ight ))

( -2cos left ( fracpi 3+x ight ).sin left ( fracpi 3+x ight ))

( +2cos left ( frac2 pi 3-x ight ).sin left ( frac2 pi 3-x ight ))

( -2cos left ( frac2 pi 3+x ight ).sin left ( frac2 pi 3+x ight )-4sin,xcos,x)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đúng theo ta được

(y’ =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) – sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) – sin left ( frac4pi 3+2x ight )- 2sin 2x )

(= -2cos frac2pi 3.sin,2x – 2cos frac4pi 3. sin 2x – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x )

(=sin,2x(1+1-2)=0)

Vậy (y’ = 0) với mọi (x), cho nên vì vậy (y’) không phụ thuộc vào (x).

7. Giải bài 7 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

Bài giải:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

(f"(x) = – 3sin x + 4cos x + 5).

(Rightarrow f"(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0)

(Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x – frac45 cos x = 1).(*)

Đặt (cos alpha = frac35,left(alpha ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin alpha = frac45)

Ta có:

(*)(Leftrightarrow sin x.cos alpha – cos x.sin alpha = 1)

(Leftrightarrow sin(x – alpha ) = 1)

(Leftrightarrow x – alpha = fracpi 2 + k2π)

(Leftrightarrow x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

Vậy (x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

(f"(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 )

(Leftrightarrow sin fracx 2 = – cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow left< matrixfracx 2= x-fracpi2+ k2π hfill cr fracx 2 = π – x+fracpi2+ k2π hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx = π – k4π hfill cr x = π + k frac4pi 3 hfill cr ight.(k ∈ mathbb Z))

Vậy (x = π – k4π)hoặc (x = π + k frac4pi 3(k ∈ mathbb Z))

8. Giải bài xích 8 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải bất phương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Bài giải:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

Ta tất cả (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1).

(Rightarrow f"(x) > g"(x) )

(Rightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 )

(Leftrightarrow 3x^2- 6x >0)

(Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 )

(Leftrightarrow x > 2)hoặc (x > 0)

Vậy (x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

Xem thêm: Unit 4: Writing Unit 4 Lớp 12 Trang 49, Unit 4 Lớp 12 Reading Sgk Trang 44, 45, 46

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Ta tất cả (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x).

(Rightarrow f"(x) > g"(x))

(Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x )

(Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)

(Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 )

(Leftrightarrow x > 1)hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11!