BÀI GIẢNG MÔN TOÁN

  -  

Tài liệu bài xích giảng môn Toán - Phương trình vi phân tuyến đường tính cấp cho 2: 1Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Phương trình vi phân đường tính cung cấp 2 tổng quát.III- Hệ phương trình vi phân tuyến đường tính cung cấp 1.II – Phương trình vi phân con đường tính thông số hằng.I. Phương trình vi phân đường tính cấp cho 2Định nghĩa phương trình không thuần nhấtPhương trình vi phân con đường tính trung học phổ thông không thuần nhất"" "( ) ( ) ( ), (1)y phường x y q x y f x  trong kia là các hàm liên tục.( ), ( ), ( )p x q x f xĐịnh nghĩa phương trình thuần nhấtPhương trình vi phân con đường tính trung học cơ sở thuần nhất"" "( ) ( ) 0, (2)y p. X y q x y  trong đó là các hàm liên tục.( ), ( )p x q x2I. Phương trình vi phân đường tính cấp 20tq ry y y Cấu trúc nghiệm của phương trình ko thuần nhấtlà nghiệm bao quát của pt không thuần nhất.tqylà nghiệm tổng thể của pt thuần nhất.0ylà nghiệm riêng rẽ của pt ko thuần nhất.ryTập hợp những nghiệm của phương trình thuần duy nhất làkhôn...




Bạn đang xem: Bài giảng môn toán

*
27 trang | chia sẻ: ntt139 | Lượt xem: 7968 | Lượt tải: 2
*



Xem thêm: Giải Bài Tập Trang 22, 23 Sgk Toán 8 Tập 1 Trang 22, 23 Sgk Toán 8 Tập 1

Bạn đã xem trước trăng tròn trang mẫu mã tài liệu Bài giảng môn Toán - Phương trình vi phân con đường tính cấp 2, để download tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Công Dân 11 Bài 7

1Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Phương trình vi phân con đường tính cung cấp 2 tổng quát.III- Hệ phương trình vi phân tuyến đường tính cấp cho 1.II – Phương trình vi phân con đường tính thông số hằng.I. Phương trình vi phân con đường tính cung cấp 2Định nghĩa phương trình ko thuần nhấtPhương trình vi phân tuyến đường tính trung học cơ sở không thuần nhất"" "( ) ( ) ( ), (1)y p. X y q x y f x  trong kia là những hàm liên tục.( ), ( ), ( )p x q x f xĐịnh nghĩa phương trình thuần nhấtPhương trình vi phân đường tính trung học phổ thông thuần nhất"" "( ) ( ) 0, (2)y p. X y q x y  trong kia là những hàm liên tục.( ), ( )p x q x2I. Phương trình vi phân tuyến đường tính cấp cho 20tq ry y y Cấu trúc nghiệm của phương trình ko thuần nhấtlà nghiệm tổng quát của pt ko thuần nhất.tqylà nghiệm bao quát của pt thuần nhất.0ylà nghiệm riêng biệt của pt không thuần nhất.ryTập hợp những nghiệm của phương trình thuần tốt nhất làkhông gian 2 chiều: 0 1 1 2 2( ) ( )y c y x c y x là nghiệm riêng rẽ của pt thuần tốt nhất (2)1( )y x" " "2 1 1 ;y y u y u Tìm nghiệm trang bị hai sống dạng: 2 1( ) ( )y y x u x "" "" " " ""2 1 1 12y y u y u y u   "" " " "" " "1 1 111 1 02 y up qy u yy y uu yuu       "" " "" " "1 1 1 1 1 12 0y py qy u y u y py u       "" " "1 1 12 0y u y py u  Đặt , gồm phương trình bóc tách biến"z u  " "1 1 12 0y z y py z  ( )21 ( )p x dxeu dxy x  ( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x   3I. Phương trình vi phân tuyến đường tính cấp cho 2Tìm nghiệm riêng rẽ của (1) bằng phương thức biến thiênhằng số: 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )ry c x y x c x y x " " " " "1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ry C x y C x y x C x y C x y x    "" "" " " " " " "" "" " " " " ""1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2ry C y C y C y C y C y C y C y C y        Thay vào pt (1): "" "( ) ( ) ( )r r ry p x y q x y f x  " "1 1 2 2" " " "1 1 2 20( )C y C yC y C y f x    Giải hệ search ." "1 2,C CSuy ra .1 2( ), ( )C x C xNghiệm riêng: ry Nghiệm tổng quát của (1): 0tq ry y y chỉ yêu cầu tìm một nghiệm riêng rẽ của pt thuần nhất.1( )y xKẾT LUẬN:Để giải phương trình "" "( ) ( ) ( )y phường x y q x y f x  Từ nghiệm suy ra:( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  1( )y xTìm nghiệm 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )ry c x y x c x y x " "1 1 2 2" " " "1 1 2 20( )C y C yC y C y f x   1 2( ), ( )C x C x ryNghiệm tổng thể của pt không thuần nhất: 0tq ry y y 4Ví dụ Giải phương trình 2 "" " 34 (1)x y xy y x  Phương trình thuần nhất: "" " 21 1 0 (2)y y yx x  Đoán một nghiệm riêng rẽ của pt thuần nhất: 1( )y x xTìm nghiệm riêng vật dụng hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  12dxxex dxx  Phương trình chuẩn: "" "21 1 4y y y xx x  lnx xTìm nghiệm riêng biệt của pt (1) bằng PP phát triển thành thiên hằng sốTrong bài bác này ta đoán được: 3y xNghiệm bao quát của (1): 0 1 23ln | |rtq y C xy C x x xy    Ví dụ Giải phương trình  "" "tan 2 0y x y y  Đoán một nghiệm riêng: 1( ) siny x xTìm nghiệm riêng đồ vật hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  tan2sin sinxdxex dxx  Ví dụ Giải phương trình "" "2 22 2 01 1x yy yx x   Đoán một nghiệm riêng: 1( )y x xTìm nghiệm riêng thiết bị hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  2212x dxxex dxx  5II. Ptrình vi phân đường tính cấp cho 2 thông số hằngĐịnh nghĩa phương trình ko thuần nhất hệ số hằngPhương trình vi phân tuyến đường tính trung học phổ thông là phương trình"" " ( ), (1)y py qy f x  trong sẽ là hằng số, cùng f(x) là hàm liên tục.,p qĐịnh nghĩa phương trình thuần nhất thông số hằngPhương trình vi phân tuyến tính trung học cơ sở là phương trình"" " 0, (2)y py qy  trong kia là các hằng số.,p qGiải phương trình thuần nhất: "" " 0, (2)y py qy  Phương trình đặc trưng: 2 0k pk q  TH 1: PTĐT gồm hai nghiệm thực biệt lập 1 2,k kTH 2: PTĐT tất cả một nghiệm kép 0kNghiệm tổng quát: 1 20 1 2k x k xy C e C e Nghiệm tổng quát: 0 00 1 2k x k xxy C e C e TH 3: PTĐT tất cả một nghiệm phức 1k a bi Nghiệm tổng quát:  0 1 2cos sinaxy e C bx C bx 6Tìm nghiệm riêng rẽ của phương trình không thuần nhấtTrường thích hợp chung: phương pháp biến thiên hằng số.Xét nhì trường hợp đặc biệt:TH 1: , Pn(x) là đa thức bậc n.( ) ( ) xnf x p. X eTìm sống dạng: ( )s xr ny x e Q xrys = 0, nếu như không là nghiệm của pt sệt trưng.s = 1, giả dụ là nghiệm đối chọi của pt sệt trưng.s = 2, trường hợp là nghiệm kép của pt sệt trưng.là đa thức có bậc tối đa là n.( )nQ xĐể tìm những hệ số của , nỗ lực vào pt (1).ry( )nQ xTH 2:  ( ) ( )cos ( )sinx n mf x e phường x x Q x x   Tìm sống dạng:  ( )cos ( )sins xr k ky x e H x x T x x   rys = 0, nếu như không là nghiệm của pt sệt trưng.i s = 1, giả dụ là nghiệm đơn của pt sệt trưng.i : hai đa thức bậc về tối đa là .max , k m n,k kH TĐể tìm những hệ số của , ráng vào pt (1):ry"" " ( )r r ry py qy f x  Vì sinx và cosx hòa bình tuyến tính nên các hệ số tươngứng bằng nhau.,k kH T7Chú ý:1) Có nguyên tắc cộng dồn (chồng chất) nghiệm:"" "1 2( ) ( ) ( )y py qy f x f x f x    nghiệm riêng của (1) gồm dạng1 2r r ry y y nghiệm riêng rẽ của pt:1ry "" " 1( )y py qy f x  nghiệm riêng của pt:2ry "" " 2( )y py qy f x  2) là trường hòa hợp 1:( ) ( )nf x p. X 0( ) ( )x nf x e phường x3) là trường đúng theo 2:( ) ( )cosnf x phường x x 0( ) ( )cos 0sinx nf x e p. X x x  Ví dụ Giải phương trình "" "5 6 xy y y e  ( )s xr ny x e Q xPhương trình quánh trưng: 2 5 6 0k k   1 22 3k k   Nghiệm tổng thể của pt thuần nhất: 2 30 1 2x xy C e C e ( ) ( )x xnf x e p x e  bậc 0.1, ( )nP x  1, ( )nQ x A    (vì Pn bậc 0)s = 0, vì không là nghiệm của pt quánh trưng.1  0 x xry x e A Ae   " "",x xr ry Ae y Ae   "" "5 6 xr r ry y y e   5 6x x x xAe Ae Ae e       112A Kluận: Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 2 31 2112x x xC e C e e  8Ví dụ Giải phương trình "" 24y y x ( )s xr ny x e Q xPhương trình đặc trưng: 2 4 0k   1 22 2k i k i    Nghiệm t/quát của pt th/nhất:  00 1 2cos2 sin 2xy e C x C x 2 0( ) ( ) xnf x x p. X e  bậc 2.0, ( )nP x 20, ( )nQ x Ax Bx C     (vì Pn bậc 2)s = 0, do không là nghiệm của pt sệt trưng.0  0 0 2 2xry x e Ax Bx C Ax Bx C      " ""2 , 2r ry Ax B y A  "" 24r ry y x  2 22 4( )A Ax Bx C x    1 1, 0,4 8A B C    Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 21 1cos2 sin 24 8C x C x x   Ví dụ Giải phương trình "" "2 3y y x ( )s xr ny x e Q xPhương trình sệt trưng: 2 2 0k k  1 đôi mươi 2k k    Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 0 20 1 2x xy C e C e 0( ) 3 ( ) xnf x x phường x e  bậc 1.0, ( )nP x 0, ( )nQ x Ax B    (vì Pn bậc 1)s = 1, vì chưng là nghiệm đối chọi của pt quánh trưng.0  1 0 2xry x e Ax B Ax Bx   " ""2 , 2r ry Ax B y A  "" "2 3ry y x  2 2(2 ) 3A Ax B x   3 3,4 4A B   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 23 34 4xC C e x   9Ví dụ Giải phương trình "" "2 2 xy y y e  ( )s xr ny x e Q xPhương trình đặc trưng: 2 2 1 0k k   1 2 1k k  Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 0 1 2x xy C e C ex 1( ) 2 ( )x xnf x e phường x e  bậc 0.1, ( )nP x 1, ( )nQ x A   (vì Pn bậc 0)s = 2, bởi vì là nghiệm kép của pt đặc trưng.1 22 x xry x e A Ax e " 2 "" 2(2 ), (2 4 )x xr ry Ae x x y Ae x x    "" "2 2 xr r ry y y e  3 3,4 4A B   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 23 34 4xC C e x   Ví dụ Giải phương trình "" "4 3 sin 2y y y x   ( )cos2 ( )sin 2s xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 30 1 2x xy C e C e 0( ) (0.cos2 sin 2 )xf x e x x bậc 0.0, 2, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 0, vị không là nghiệm của pt quánh trưng.2i i  Phương trình quánh trưng: 2 4 3 0k k  max , 0k m n 1 21 3k k   10cos2 sin 2ry A x B x " ""2 sin 2 2 cos2 , 4 cos2 4 sin 2r ry A x B x y A x B x     "" "4 3 sin 2r r ry y y x  Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 31 28 1cos2 sin 265 65x xC e C e x x       cos2 si2 si43 sin 2n 24 cosn2 2 co24 in 2 s2s A x ba xA xx B xB x x   ( 8 )cos 2 (8 )sin 2 sin 2A B x A B x x    8 08 1A bố B   8 1,65 65A B    8 1cos2 sin 265 65ry x x   ( )cos ( )sins xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t/quát của pt th/nhất:  00 1 2cos sinxy e C x C x 0( ) (cos 0.sin )xf x e x x bậc 0.0, 1, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 1, bởi vì là nghiệm của pt đặc trưng.i i  Phương trình quánh trưng: 2 1 0k  max , 0k m n 1 2k i k i    Ví dụ Giải phương trình "" cosy y x 11 cos sinry x A x B x " ( )cos ( )sinry A Bx x B Ax x   "" cosr ry y x Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  1 21cos sin sin2C x C x x x       -2 - sin 2 - cos cos s oin c sA Bx x B Ax x x xA x B x  10,2A B   1 sin2ry x x    "" -2 - sin 2 - cosry A Bx x B Ax x 2 sin 2 cos cosA x B x x   ( )cos ( )sins xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t.quát pt th.nhất: 0 1122 cos 7 72n2sixy e C x C x     0( ) (cos 2sin )xf x e x x bậc 0.0, 1, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 0, bởi không là nghiệm của pt quánh trưng.i i  Phương trình sệt trưng: 2 2 0k k  max , 0k m n 11272k i  Ví dụ Giải phương trình "" " 2 2sin cosy y y x x   12cos sinry A x B x  " sin cosry A x B x  "" " 2 cos 2sinr r ry y y x x   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 121 27 7 3 1cos sin cos sin2 2 2 2xtqy e C x C x x x        sin cos cos sincos mê mẩn 2 c s 2 nn o siA x B xA A x xx B x xB x     12A tía B    1 3,2 2A B  "" cos sinry A x B x  ( )cos ( )sin cos 2sinA B x A B x x x     1 3cos sin2 2ry x x  Nghiệm t/quát pt th/nhất: 2 trăng tròn 1 2x xy C e C xe 21 2( ) ( ) ( )xf x f x f x x e   Phương trình quánh trưng: 2 4 4 0k k   1 2 2k k  Ví dụ Giải phương trình "" " 24 4 xy y y x e   Sử dụng nguyên tắc cộng dồn nghiệmTìm nghiệm riêng ứng cùng với :1( )f x"" "14 4 ( ) (1)y y y x f x   1( )s xr ny x e Q x 0, ( )nQ x Ax B    (vì Pn bậc 1)s = 0, vày không là nghiệm của pt đặc trưng.0 Thay vào pt (1), ta có1ry Ax B 14A B 11 14 4ry x  13Thay vào pt (2), ta có 12A Tìm nghiệm riêng biệt ứng với :2( )f x"" " 224 4 ( ) (2)xy y y e f x   22 2 xry x e A1( )s xr ny x e Q x 2, ( )nQ x A   (vì Pn bậc 0)s = 2, vì chưng là nghiệm kép của pt đặc trưng2 Một nghiệm riêng rẽ của đề bài bác là:1 2r r ry y y  2 21 1 14 4 2xx x e  Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 2 2 2 21 21 1 14 4 2x x xtqy C e C xe cộ x x e    II. Hệ pt vi phân con đường tính cấp cho 1 thông số hằng.Hệ phương trình vi phân (n phương trình, n hàm số)111 1 12 2 1 1221 1 22 2 2 21 1 2 2... ( )... ( )... ( )n nn nnn n nn n ndx a x a x a x f tdtdx a x a x a x f tdtdx a x a x a x f tdt                  (1)trong kia là các hàm theo t, liên tục.( )f tlà những hàm theo t.1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t14II. Hệ pt vi phân đường tính cung cấp 1 hệ số hằng11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a         12nxxXx      12( )( )( )( )nf tf tF tf t      Hệ phương trình sinh sống dạng ma trận: ( )dX AX F tdt  (2)Hệ phương trình thuần nhất: dX AXdt (3)Nghiệm của hệ là hàm véctơ trên khoảng (a,b) bao gồm toạđộ là các hàm khả vi thường xuyên trên (a,b) cùng thoả hệ:II. Hệ phương trình vi phân tuyến đường tính cung cấp 1Cấu trúc nghiệm của hệ tuyến tính (2)0tq rX X X là nghiệm tổng quát của hệ pt không thuần độc nhất vô nhị (2)tqXlà nghiệm bao quát của hệ pt thuần độc nhất (3)0Xlà nghiệm riêng biệt của hệ pt không thuần độc nhất vô nhị (2)rX15Phương pháp khửNội dung phương pháp khử là gửi hệ phương trình viphân về phương trình vi phân cấp cao hơn bằng cáchđạo hàm một phương trình rồi khử những hàm không biết.Ưu điểmGiải hệ phương trình hết sức nhanh.Nhược điểmRất cực nhọc giải hệ nhiều phương trình, các hàm.Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 224 3x x xx x x   Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1)." "1 2 24 5 (*)x x x   Đạo hàm nhị vế phương trình (2)."" " "2 1 24 3 x x x " " ""1 2 24 3 x x x   nuốm vào pt (*)Thay vào pt 2 của hệ" "" "2 2 2 23 5x x x x   "" "2 2 24 5 0x x x  51 1 2( )t tx t C e C e 52 1 21( )2t tx t C e C e  16Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 232 2tx x x ex x x t     Lấy phương trình (2) trừ 2 lần phương trình (1)." "1 2 12 4 2 (*)tx x x t e     Đạo hàm hai vế phương trình (1)."" " "1 1 23 tx x x e   " "" "2 1 13 tx x x e    thế vào pt (*)" "" "1 1 1 12 3 4 2t tx x x e x t e        "" "1 1 15 4tx x x t e   41 1 25( )9 3 4 16t tt t e te tx t C e C e      cố vào pt 1 của hệ42 1 28 2 3 11( ) 29 3 4 16t tt t e te tx t C e C e      Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 332 4 23x x x xx x x xx x x x        Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1)." "1 2 1 34 10 2 (*)x x x x    Lấy phương trình (3) trừ phương trình (1)." "1 3 1 32 2 (**)x x x x    Đạo hàm hai vế pt (1): " "" " "2 1 1 33x x x x  Thay vào pt (*): " "" " "1 1 1 3 1 34 3 10 2 x x x x x x      17"" " "1 1 3 1 37 10 2 (***)x x x x x    Cộng hai pt (**) với (***) "" "1 1 18 12 0x x x  6 21 1 2( )t tx t C e C e 6 23 1 3( )t tx t C e C e Thay vào pt (**):" 63 3 12 4tx x C e Thay vào pt (1) của hệ, ta có: "2 1 1 33x x x x  6 2 6 2 6 22 1 2 1 2 1 3( ) 6 2 3 3t t t t t tx t C e C e C e C e C e C e      6 22 1 2 3( ) 2 t tx t C e C C e  Nghiệm của hệ đang cho:123( )( )( )x tx tx t Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 36 1234 12 3x x x xx x x xx x x x         Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1)." "1 2 1 25 9 (1)x x x x    Lấy pt thứ ba của hệ cộng 3 lần pt đầu của hệ" "1 3 1 23 14 24 (2)x x x x  Đạo hàm nhì vế pt (2): " " " ""3 1 2 23x x x x  Thay vào pt (2): " " ""1 2 2 1 24 3 14 24 (3)x x x x x   18Khử vào pt (1) với (3):1x " " ""1 2 2 26 5 6 (4)x x x x  Đạo hàm nhị vế (5):Khử trong pt (1) với (3):"1x" ""2 2 1 26 12 (5)x x x x   "" """ " "2 2 1 26 12 (6)x x x x   Rút núm vào (4):"1x""" "" "2 2 2 26 12 6 0x x x x   Giải phương trình này ta được 2 32 1 2 3( )t t tx t C e C e C e  Thay vào (4) ta được 1( )x tThay vào đầu của hệ ta được 3( )x tVí dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 32 4 34 6 33 3x x x xx x x xx x x x         Cộng nhị phương trình đầu của hệ." "1 2 1 22 2 (1)x x x x   Lấy pt đầu trừ 3 lần pt đầu của hệ" "1 3 1 23 7 5 (2)x x x x   Đạo hàm nhì vế pt đầu: " " " ""3 1 2 13 2 4x x x x   Thay vào pt (2): " " ""1 2 1 1 23 4 7 5 (3)x x x x x    19" " ""1 2 1 13 2 4 (4)x x x x   Đạo hàm nhị vế (5):Khử trong pt (1) cùng (3):2xKhử vào pt (1) cùng (3):"2x" ""1 1 1 23 (5)x x x x   "" """ " "1 1 1 23 (6)x x x x   Rút cố kỉnh vào (4):"2x""" ""1 1 13 4 0x x x  Giải phương trình này ta được 2 21 1 2 3( )t t tx t C e C e C te   Thay vào (4) ta được 2 ( )x tThay vào đầu của hệ ta được 3( )x tVí dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 2 3"3 1 2 332 2tx x x ex x x tx x x x t          Lấy 3 lần pt đầu trừ pt vật dụng hai của hệ." "1 2 1 33 3 3 - (1)tx x x x e t   Lấy pt đầu trừ pt sản phẩm công nghệ 3 của hệ" "1 3 1 32 2 - 2 (2)tx x x x e t   Đạo hàm hai vế pt đầu: " " ""2 1 1tx x x e   Thay vào pt (1): " ""1 1 1 34 3 2 - (3)tx x x x e t   20" "" "1 1 3 19 2 8 5 - 4 (4)tx x x x e t   Đạo hàm nhì vế (3):Khử trong pt (2) và (3):3x"" """ " "1 1 1 34 3 2 -1 (5)tx x x x e   Rút nuốm vào (4):"3x""" "" "1 1 1 16 12 8 3 4 1tx x x x e t     Giải phương trình này ta được2 2 2 21 1 2 35( ) 32 8t t t t tx t C e C te C t e e     Thay vào pt đầu của hệ ta được 2 ( )x tThay vào pt nhị của hệ ta được 3( )x tPhương pháp trị riêng, véctơ riêngA là ma trận thực, vuông cung cấp n.Trường phù hợp 1: A chéo hoá được:( ) (2)dX AX F tdt 1A PDP ( )dX AX F tdt 1 ( )dX PDP X F tdt   1 1 1 ( )dXP DP X phường F tdt    1Y phường XĐặt " 1 "Y phường X " 1 ( )Y DY p. F t Ta có:Đây là những phương trình vi phân cấp cho 1 tách rời nhau.21Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 232 2tx x x ex x x t     Chéo hoá A:12xXx    3 12 2A     ( )teF tt    1 1 1 4 0 2 /3 1/31 2 0 1 1/3 1/3A PDP             1Y p. XĐặt " 1 ( )Y DY phường F t Ta có:"1 1"224 0 2/3 1/30 1 1/3 1/3ty y ey ty                         "1 1"224 0 2/3 1/30 1 1/3 1/3ty y ey ty                         "1 1"2 2243 313 3ttty y ety y e       hệ gồm hai ptrình vi phântuyến tính cấp cho 1 riêng biệt biệt41 12 22 1( )9 12 481( )3 3 3t tt tty t C e et ty t C e e         Nghiệm của hệ: 1 12 2x yPx y         121 11 2yy       22Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 33 42 4 23 8x x x x tx x x xx x x x          Chéo hoá A ( xem Đại số con đường tính)123xX xx      3 1 12 4 21 1 3A      4( ) 08tF t      11 1 1 2 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 21 0 2 0 2 0 1/ 4 1/ 4 3/ 40 1 1 0 0 6 1/ 4 1/ 4 1/ 4A PDP                     1Y phường XĐặt " 1 ( )Y DY p. F t Ta có:"1 1"2 2"3 32 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 40 2 0 1/ 4 1/ 4 3/ 4 00 0 6 1/ 4 1/ 4 1/ 4 8y y ty yy y                                       "1 1"2 2"3 32 2 42 66 2y y ty y ty y t         21 122 263 3( ) 5/ 2( ) / 2 11/ 4( ) / 6 19 /36ttty t C e ty t C e ty t C e t         Nghiệmcủa hệ X PY21122 263 35/ 2( ) 1 1 1( ) 1 0 2 / 2 11/ 4( ) 0 1 1 / 6 19 /36tttC e tx tx t C e tx t C e t                           23Phương pháp trị riêng, véctơ riêngTrường hòa hợp 2: A không chéo hoá được:( ) (2)dX AX F tdt 1(2) ( )dX PTP X F tdt  1 1 1 ( )dXP TP X p. F tdt    1Y p. XĐặt " 1 "Y p. X " 1 ( )Y TY p F t Ta có:Mọi ma trận (thực hoặc phức) phần đông tam giác hoá được.1A PTP cùng với T là ma trận tam giác.Đây là hệ tam giác,giải từ dưới lên.Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 32 4 34 6 33 3x x x xx x x xx x x x         A không chéo hoá được ( coi Đại số đường tính)123xX xx      2 4 34 6 33 3 1A        Đây là hệ thuần nhất.2| | 0 ( 2) ( 1) 0A I       1 2   gồm một VTR chủ quyền tuyến tính 1110X      242 1  tất cả một VTR chủ quyền tuyến tính 3111X      Tìm nhị ma trận1231 11 10 1xP xx      2 00 2 00 0 1mT      1A PTP AP PT  2 1 22AX mX X  Gọi là cột lắp thêm hai của ma trận P.2XChọn m = 11 12 23 32 4 3 14 6 3 1 23 3 1 0x xx xx x                                  12311xxx               Chọn 1  2211X       1 2 11 1 10 1 1P       2 1 00 2 00 0 1T      1Y p XĐặt "Y TYTa có:"1 1"2 2"3 32 1 00 2 00 0 1y yy yy y                      "1 1 2"2 2"3 322y y yy yy y      2 21 1 222 23 3( )( )( )t ttty t C e C tey t C ey t C e     1 12 23 3( ) 1 2 1( ) 1 1 1( ) 0 1 1x t yx t yx t y                       25Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 2 3"3 1 2 332 2tx x x ex x x tx x x x t          A không chéo hoá được ( xem Đại số tuyến tính)123xX xx      1 1 00 3 11 1 2A      3| | 0 ( 2) 0A I     1 2  có một VTR độc lập tuyến tính 1111X      ( )2teF t tt      Tìm nhị ma trận1 12 23 3111x yP x yx y      20 đôi mươi 0 2a bT c      1A PTP AP PT  2 1 22AX aX X  Gọi là cột trang bị hai của ma trận P.2XChọn a = 11 12 23 31 1 0 10 3 1 1 21 1 2 1x xx xx x                                12311xxx               Chọn 2  2121X       1231 11 21 1yP yy      2 10 20 0 2bT c      261A PTP AP PT  3 1 2 32AX bX cX X    lựa chọn b = 0,c=11 12 23 31 1 0 10 3 1 2 21 1 2 1y yy yy y                                12312xxx               Chọn 2  3120X       1 1 11 2 21 1 0P      2 1 00 2 10 0 2T      12 1 02 1 11 0 1P      "1 1"2 2"3 32 1 0 2 1 00 2 1 2 1 10 0 2 1 0 1 2ty y ey y ty y t                                      "1 1 2"2 2 3"3 32 22 2 32 2ttty y y e ty y y e ty y e t           1Y phường XĐặt " 1 ( )Y TY p. F t Ta có:122 2 33 3( )( ) 2 / 2 3/ 4( ) 2 2 2t t tt ty ty t C e C e te ty t C e te t         27Nhận xét:sau lúc khử ta được phương trình vi phân đường tínhcấp cao của một pt. Phương trình đặc trưng của pt nàytrùng với pt đặc trưng của ma trận A, hoặc vào một sốGiải hệ bằng phương pháp khử:" ( )X AX F t trường hòa hợp trùng với phương trình tối thiểu của A.Phương pháp khử: 1) Khử thứu tự từng đổi thay trong hệ.2) trong quá trình khử: đạo hàm nhị vế.Hệ 3 pt, 3 ẩn: khử dễ dàng dàng, hệ các pt những ẩn: khó