Sin Là Gì

     

Bài này viết về định lý sin trong lượng giác. Đối cùng với định lý sine trong thứ lý, xem định mức sử dụng Snell.

Bạn đang xem: Sin là gì


Trong lượng giác, định lý sin (hay định chế độ sin, công thức sin) là một trong những phương trình biểu diễn quan hệ giữa chiều dài những cạnh của một tam giác bất cứ với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được màn biểu diễn dưới dạng


*

Một tam giác với những thành phần nằm trong định lý sin a sin A = b sin B = c sin C displaystyle frac asin A,=,frac bsin B,=,frac csin C!

.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, cùng A, B, C là các góc đối lập (xem hình vẽ). Phương trình cũng hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng nghịch đảo: sin A a = sin B b = sin C c . displaystyle frac sin Aa,=,frac sin Bb,=,frac sin Cc.!

Định lý sin rất có thể được cần sử dụng trong phép đạc tam giác nhằm tìm nhị cạnh còn sót lại của một tam giác lúc biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh sản phẩm công nghệ ba khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa hai cạnh đó. Vào một vài trường hợp, cách làm cho ta hai quý hiếm khác nhau, dẫn mang đến hai tài năng khác nhau của một tam giác. Định lý sin là 1 trong hai phương trình lượng giác thường xuyên được dùng để tìm cạnh cùng góc của một tam giác, ngoại trừ định lý cos.

Mục lục

Các ví dụSửa đổi

Cho: cạnh a=20, cạnh c=24, góc C=40°

Theo định lý sin ta gồm sin A đôi mươi = sin 40 24 . displaystyle frac sin A20=frac sin 40^circ 24.


A = arcsin ( đôi mươi sin 40 24 ) 32.39 . displaystyle A=arcsin left(frac 20sin 40^circ 24 ight)approx 32.39^circ .

Một lấy một ví dụ khác:

Nếu nhì cạnh của một tam giác tất cả chiều dài là R cùng chiều lâu năm cạnh vật dụng ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì: A = B = 180 C 2 = 90 C 2 displaystyle angle A=angle B=frac 180^circ -angle C2=90-frac angle C2!

và R sin A = c sin C v R sin B = c sin C displaystyle R over sin A=mboxc over sin C ext v R over sin B=mboxc over sin C,!

c sin A sin C = R v c sin B sin C = R . displaystyle mboxc,sin A over sin C=R ext v mboxc,sin B over sin C=R.!

Vấn đề tính toánSửa đổi

Giống như định lý cos, tuy vậy định lý sin đúng về khía cạnh toán học, nhưng bài toán áp dụng hoàn toàn có thể dẫn đến sai số bự khi sin của một góc rất gần với 1.

Vài ứng dụngSửa đổi

Định lý sin hoàn toàn có thể được sử dụng để minh chứng công thức sin của một tổng khi hai góc α và β nằm giữa 0 với 90 độ.Để bệnh minh, hạ đường cao trường đoản cú góc C, phân tách góc C thành nhị góc α cùng phía cùng với góc A và β cùng phía cùng với góc B. Cần sử dụng định lý sin đối với cạnh c cùng a để giải phương trình tìm sinC. Trong nhị tam giác vuông new vẽ được nhờ đường cao ta thấy sin(A) =cos(α), sin(B) =cos(β) và c=asin(β)+bsin(α). Sau khi thế ta được sin(C) =sin(α+β) =sin(β)cos(α)+(b/a)sin(α)cos(α). Sử dụng định lý sin so với cạnh b cùng a để giải phương trình tìm b. Chũm vào phương trình của sin(α+β) với ta có điều yêu cầu chứng minh.Định lý sin cũng có thể được sử dụng để minh chứng định lý tang và cách làm Mollweide (Dresden 2009, Plane Trigonometry trang 7678).

Trường hợp sệt biệtSửa đổi

Trong một vài trường hợp, khi áp dụng định lý sin, ta được hai quý giá khác nhau, dẫn đến kỹ năng dựng được hai tam giác không giống nhau trong cùng một việc giải tam giác.


*

Điều kiện nhằm tam giác ABC rơi vào trường đúng theo này là:


Chỉ biết cạnh a, b và góc A.Góc A nhọn (A Cạnh a bé hơn cạnh b (a Cạnh a dài ra hơn nữa đường cao của tam giác vuông tất cả góc A cùng cạnh huyền b (a > b sin A).

Xem thêm: Tại Sao Các Dòng Biển Lại Có Ảnh Hưởng Lớn, Đến Khí Hậu

Trong trường hòa hợp đó, góc B rất có thể nhọn hoạc tù, bởi đó: B = arcsin b sin A a displaystyle B=arcsin bsin A over a!

hoặc B = 180 arcsin b sin A a displaystyle B=180^circ -arcsin bsin A over a

Liên quan với con đường tròn ngoại tiếpSửa đổi

Trong bí quyết a sin A = b sin B = c sin C , displaystyle frac asin A,=,frac bsin B,=,frac csin C,!

giá trị của từng phân số chính là đường kính của con đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.<1> bạn ta cũng minh chứng được rằng quý giá trên bởi a b c 2 S = a b c 2 s ( s a ) ( s b ) ( s c ) = 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , displaystyle eginalignedfrac abc2S&=frac abc2sqrt s(s-a)(s-b)(s-c)\<6pt>&=frac 2abcsqrt (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4),endaligned

trong kia S là diện tích của tam giác và s là nửa chu vi của nó. S = a + b + c 2 . displaystyle s=frac a+b+c2.

Công thức thứ hai có sử dụng đến phương pháp Heron.

Các dạng khácSửa đổi


*

Từ mẫu vẽ bên, ta nhận thấy: sin A = h b và sin B = h a . displaystyle sin A=frac hb ext & sin B=frac ha.

Do đó h = b sin A = a sin B displaystyle h=bsin A=asin B,


và a sin A = b sin B . displaystyle frac asin A=frac bsin B.

Làm tương tự, ta có: b sin B = c sin C . displaystyle frac bsin B=frac csin C.

Diện tích tam giác S displaystyle S

được tính bởi bí quyết S = 1 2 b c sin A = 1 2 a c sin B = 1 2 a b sin C . displaystyle S=frac 12bcsin A=frac 12acsin B=frac 12absin C,.

Nhân hai vế với 2 / a b c displaystyle 2/abc

ta được 2 S a b c = sin A a = sin B b = sin C c . displaystyle frac 2Sabc=frac sin Aa=frac sin Bb=frac sin Cc,.

Xem thêm: Ý Chung Nhân - Nghĩa Của Từ Ý Trung Nhân

Định lý sin vào tứ diệnSửa đổi


*

Một tứ diện với các đỉnh O, A, B, C và các góc OAB, OBC, OCA, OAC, OCB, OBA.

Một hệ quả của định lý sin là: trong tứ diện OABC ta bao gồm sin O A B sin O B C sin O C A = sin O A C sin O C B sin O B A . displaystyle eginaligned&quad sin angle OABcdot sin angle OBCcdot sin angle OCA\&=sin angle OACcdot sin angle OCBcdot sin angle OBA.endaligned

Định lý cosĐịnh lý tangCông thức MollweideCông thức nửa cạnh

Tham khảoSửa đổi

^
Coxeter, H. S. M. And Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1-3, 1967

Liên kết ngoàiSửa đổi

The Law of SinesDegree of CurvatureFinding the Sine of 1 Degree

*
Reply
*
5
*
0
*
phân tách sẻ